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Matrizes matemáticas – Parte 1

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O que são matrizes matemáticas?

Quando paramos para pensar na palavra “matriz” o que nos vem em mente? Provavelmente para alguns a palavra associa-se a um filme de grande sucesso, Matrix, para outros se refere à uma sede principal de uma empresa, ou ainda, para outras pessoas, um componente que funciona como um carimbo.

Por exemplo, na época dos discos de vinil, temos um procedimento de produção de LPs da seguinte forma: uma matriz, com as músicas já mixadas era criada para imprimir sulcos em diversas quantidades de centenas, ou talvez milhares, de cópias de LPs; assim como num carimbo.

Um LP

Um LP

A própria idéia de carimbo ou de imprensa de tipos móveis (que já foi a tempo uma tecnologia de impressão de jornais); ou a ainda a noção de fotolito, uma tecnologia vigente para a produção de milhares de livros, com apenas os fotolitos que resultarão as páginas de tais livros, representam um dos significados da palavra matriz.

Pois bem, uma matriz matemática é um aglomerado de informações dispostas num modelo em linhas x colunas. É em última instância uma tabela.



P J V E D GP GC SG %
1 Corinthians 44 22 13 5 4 40 22 18 66,7
2 Fluminense 42 23 12 6 5 40 24 16 60,9
3 Cruzeiro 41 23 11 8 4 31 22 9 59,4
4 Internacional 38 22 11 5 6 28 21 7 57,6
5 Botafogo 38 23 10 8 5 36 26 10 55,1
6 Santos 35 22 10 5 7 34 27 7 53
7 Atlético-PR 34 23 10 4 9 28 32 -4 49,3
8 São Paulo 31 23 8 7 8 30 30 0 44,9
9 Ceará 30 23 7 9 7 19 20 -1 43,5
10 Guarani 30 23 7 9 7 26 31 -5 43,5
11 Grêmio 29 23 7 8 8 30 28 2 42
12 Vasco 29 22 6 11 5 21 21 0 43,9
13 Palmeiras 29 23 6 11 6 24 26 -2 42
14 Vitória 28 23 6 10 7 28 31 -3 40,6
15 Flamengo 27 23 6 9 8 21 23 -2 39,1
16 Avaí 25 23 6 7 10 31 36 -5 36,2
17 Atlético-MG 21 23 6 3 14 28 40 -12 30,4
18 Goiás 21 23 5 6 12 24 40 -16 30,4
19 Atlético-GO 20 23 5 5 13 27 35 -8 29
20 Prudente 17 23 4 8 11 21 32 -11 29

Tabela do campeonato brasileiro. Pode ser transformada numa grande matriz. Fonte: extraído do G1, http://globoesporte.globo.com/futebol/brasileirao-serie-a/ em 21/09/10.

A Matriz matemática, como uma tabela, também pode participar do conceito de matriz, como algo que gera; Matrice, Mater; uma matriz matemática é um conjunto de elementos ordenados em linhas x colunas: assim temos uma espécie de conjunto, cujos elementos são emoldurados por uma estrutura que é baseada na disposição dos índices linha e coluna (i x j). São como se fosse, portanto, “fôrmas” matemáticas.

Esquema de uma matriz. Fonte: Wikipédia

Esquema de uma matriz. Fonte da imagem: Wikipédia

Uma matriz é identificada por uma letra em maiúscula e pode ser abreviada da seguinte forma:

Matriz reduzida

Cada elemento é identificado pelos índices de linha x coluna em que aparecem.

Outro esquema de uma matriz, mostrando a identificação de elementos de acordo com seus índices m x n.

Outro esquema de uma matriz, mostrando a identificação de elementos de acordo com seus índices m x n. Fonte da imagem: Wikipédia.

A diagonal primária e a diagonal secundária

Numa matriz possuímos diagonais, além das linhas e colunas.  São retas que passam a matriz diagonalmente. Abaixo temos esquemas de uma diagonal primária e uma secundária:

Diagonal primária

Diagonal primária

Diagonal secundária

Diagonal secundária

Existem tipos diferentes de matrizes?

Sim, possuem tipos diferentes de matrizes. Nesta artigo listaremos alguns tipos e subtipos de matrizes.

Matriz linha

Chamamos de matriz linha aquela que possui apenas uma linha.

Matriz Linha

Matriz Linha

Matriz coluna

A matriz coluna tem apenas uma coluna.

Matriz Coluna

Matriz Coluna

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada possui o mesmo número de linhas e colunas.  Denomina-se ordem a quantidade de linhas ou coluna que ela possui.

Matriz Quadrada

Matriz Quadrada

Matriz diagonal

Subtipo de matriz quadrada: quando uma matriz quadrada possui apenas elementos não nulos (diferentes de zero) apenas em sua diagonal principal. Os outros elementos devem ser nulos.

Matriz Diagonal

Matriz Diagonal

Matriz identidade

Uma matriz diagonal que possui seus elementos na diagonal principal, todos, iguais a 1.

Matriz Identidade

Matriz Identidade

Matrizes iguais

Quando matrizes com mesmo número de linhas e colunas são colocadas diante uma igualdade. Significa que são de valores correspondentes.

Matrizes Iguais

Matrizes Iguais

Matriz transposta

Quando invertemos as linhas pelas colunas (e vice-versa) criamos uma matriz transposta. Abaixo um esquema representando as matrizes (a matriz transposta tem um “t” superior em seu nome).

Matrizes Transpostas

Matrizes Transpostas

Cálculo de elementos na matriz

Vamos supor que temos um número “k”, se quisermos podemos multiplicá-lo pela matriz “A”. Assim teríamos “k.A”. Neste caso temos que multiplicá-lo com cada elemento da matriz.

Assim:

Multiplicando valor k por matriz A

Multiplicando valor k por matriz A

Também podemos fazer outras operações, como por exemplo calcular um elemento de acordo com a linha que pertence. Sabemos que a identificação de cada elemento é “Aij”, sendo “A” o elemento, “i” a sua linha e “j” a coluna. Agora vamos considerar que para calcular um determinado elemento tenhamos o seguinte comando “i+j * 2 + 5”.  Assim poderemos saber que elemento é este identificando a linha e a coluna em que ela está.

Assim:

Calculando elementos da matriz

Calculando elementos da matriz

No exemplo acima sabemos que “i+j * 2 + 5” está na primeira linha e terceira coluna. Assim o cálculo deste elemento fica em “1+3  * 2 +5”, que fica “1+6+5” que resulta em “12”. Já o elemento com j ao quadrado, como está na primeira coluna fica como “1 ao quadrado”, que dará “1”.

Arnaldo Vasconcellos


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