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Matrizes Matemáticas – Parte 2

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Uma matriz quadrada

Uma matriz quadrada

Vimos no artigo anterior sobre “Matrizes Matemáticas” o conceito geral sobre matriz, o que é uma matriz matemática, algumas de suas características e alguns de seus tipos.

Agora continuaremos  a apresentação das matrizes matemáticas, algumas das operações que podemos fazer com as mesmas.

Soma entre matrizes

Podemos efetuar a soma de matrizes de mesma ordem m x n, apenas somando-se os elementos de mesma ordem.

Exemplo:

Soma de matrizes

Soma de matrizes

Subtração entre matrizes

A subtração de matrizes é efetuada de forma semelhante à soma. Deve-se subtrair um elemento aij de uma matriz pelo elemento aij correspondente de outra matriz. Exemplo abaixo:

Subtração de Matrizes

Multiplicação entre matrizes

Vamos supor que você tenha duas matrizes. Uma matriz de ordem m x n e outra z x p.  E precise multiplicar  uma matriz pela outra.

Para proceder com esta operação, as matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis. Lembro que no caso de matrizes, não existe o fenômeno da “comutação”. Comutação em matemática é o seguinte: se um número c = a x b, então b x a continua sendo c (por exemplo 6 = 3 x 2 ou 2 x 3). Assim uma matriz C = A x B não é a mesma matriz de B x A.

Para determinarmos se as matrizes possuem compatibilidades para multiplicação, procedemos da seguinte forma. Sabendo que a matriz A é uma matriz 3 x 2 e a matriz B é 2 x 4, devemos olhar se a quantidade de COLUNAS da PRIMEIRA matriz é idêntica a quantidade de LINHAS da SEGUNDA matriz.

Assim:

Uma matriz 3×2 X 2×4; devo verificar se 3x(2) e (2)x4. Assim elas são compatíveis.

Agora a matriz final (que resultará da multiplicação de AxB) será uma matriz de ordem 3×4. Como sei disso? Devo prestar atenção em quantas LINHAS possui a matriz A e quantas COLUNAS possui a matriz B. Assim: (3)x2 X 2x(4). Portanto já sei, de antemão, que a matriz resultante desta multiplicação será de ordem 3×4.

Então, sabendo a ordem da matriz final, posso montar a minha matriz final desta forma:

Matriz resultado do produto da matriz AxB

Matriz resultado do produto da matriz AxB

Sabendo como será sua aparência final, agora posso traçar um esquema para efetuar uma multiplicação.

Na multiplicação destas matrizes, tenho que multiplicar a 1ª linha pela 1ª coluna da outra matriz, isto para o primeiro elemento da matriz resultante. E assim por diante. Abaixo um esquema simplificado da sequência a seguir:

Sequência da multiplicação de matrizes. FONTE: www.alunosonline.com.br

Sequência da multiplicação de matrizes. FONTE: www.alunosonline.com.br

Voltando para nosso exemplo de matriz resultante 3×4, podemos, então, fazer um esquema mais complicado, porém esclarecedor dos passos a seguir (sendo ‘l’ de linha e ‘c’ de coluna):

Esquema de multiplicação, elemento por elemento

Esquema de multiplicação, elemento por elemento

Apesar do esquema acima estar de acordo com os procedimentos, existe um detalhe maior ao fazer a multiplicação de uma linha por uma coluna na matriz: este detalhe reside na questão “como poderei multiplicar uma linha por uma coluna?”.

Da seguinte maneira:

Se uma vou proceder com uma linha vezes uma coluna, devo somar as multiplicações de cada elemento das linhas e colunas em questão. Por exemplo (em esquema completo de aplicação das multiplicações de linhas por colunas, resultante das somas de multiplicações de cada elemento):

Esquema completo para multiplicação de matrizes

Esquema completo para multiplicação de matrizes

Estes são, enfim, os procedimentos para se multiplicar matrizes. Espero ter contribuído para o seu aprendizado sobre matrizes.

Em breve, trarei mais artigos sobre matrizes matemáticas.

Arnaldo Vasconellos

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