Matrizes Matemáticas – Parte 2

Uma matriz quadrada

Uma matriz quadrada

Vimos no artigo anterior sobre “Matrizes Matemáticas” o conceito geral sobre matriz, o que é uma matriz matemática, algumas de suas características e alguns de seus tipos.

Agora continuaremos  a apresentação das matrizes matemáticas, algumas das operações que podemos fazer com as mesmas.

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Soma entre matrizes

Podemos efetuar a soma de matrizes de mesma ordem m x n, apenas somando-se os elementos de mesma ordem.

Exemplo:

Soma de matrizes

Soma de matrizes

Subtração entre matrizes

A subtração de matrizes é efetuada de forma semelhante à soma. Deve-se subtrair um elemento aij de uma matriz pelo elemento aij correspondente de outra matriz. Exemplo abaixo:

Subtração de Matrizes

Multiplicação entre matrizes

Vamos supor que você tenha duas matrizes. Uma matriz de ordem m x n e outra z x p.  E precise multiplicar  uma matriz pela outra.

Para proceder com esta operação, as matrizes a serem multiplicadas devem ser compatíveis. Lembro que no caso de matrizes, não existe o fenômeno da “comutação”. Comutação em matemática é o seguinte: se um número c = a x b, então b x a continua sendo c (por exemplo 6 = 3 x 2 ou 2 x 3). Assim uma matriz C = A x B não é a mesma matriz de B x A.

Para determinarmos se as matrizes possuem compatibilidades para multiplicação, procedemos da seguinte forma. Sabendo que a matriz A é uma matriz 3 x 2 e a matriz B é 2 x 4, devemos olhar se a quantidade de COLUNAS da PRIMEIRA matriz é idêntica a quantidade de LINHAS da SEGUNDA matriz.

Assim:

Uma matriz 3×2 X 2×4; devo verificar se 3x(2) e (2)x4. Assim elas são compatíveis.

Agora a matriz final (que resultará da multiplicação de AxB) será uma matriz de ordem 3×4. Como sei disso? Devo prestar atenção em quantas LINHAS possui a matriz A e quantas COLUNAS possui a matriz B. Assim: (3)x2 X 2x(4). Portanto já sei, de antemão, que a matriz resultante desta multiplicação será de ordem 3×4.

Então, sabendo a ordem da matriz final, posso montar a minha matriz final desta forma:

Matriz resultado do produto da matriz AxB

Matriz resultado do produto da matriz AxB

Sabendo como será sua aparência final, agora posso traçar um esquema para efetuar uma multiplicação.

Na multiplicação destas matrizes, tenho que multiplicar a 1ª linha pela 1ª coluna da outra matriz, isto para o primeiro elemento da matriz resultante. E assim por diante. Abaixo um esquema simplificado da sequência a seguir:

Sequência da multiplicação de matrizes. FONTE: www.alunosonline.com.br

Sequência da multiplicação de matrizes. FONTE: www.alunosonline.com.br

Voltando para nosso exemplo de matriz resultante 3×4, podemos, então, fazer um esquema mais complicado, porém esclarecedor dos passos a seguir (sendo ‘l’ de linha e ‘c’ de coluna):

Esquema de multiplicação, elemento por elemento

Esquema de multiplicação, elemento por elemento

Apesar do esquema acima estar de acordo com os procedimentos, existe um detalhe maior ao fazer a multiplicação de uma linha por uma coluna na matriz: este detalhe reside na questão “como poderei multiplicar uma linha por uma coluna?”.

Da seguinte maneira:

Se uma vou proceder com uma linha vezes uma coluna, devo somar as multiplicações de cada elemento das linhas e colunas em questão. Por exemplo (em esquema completo de aplicação das multiplicações de linhas por colunas, resultante das somas de multiplicações de cada elemento):

Esquema completo para multiplicação de matrizes

Esquema completo para multiplicação de matrizes

Estes são, enfim, os procedimentos para se multiplicar matrizes. Espero ter contribuído para o seu aprendizado sobre matrizes.

Em breve, trarei mais artigos sobre matrizes matemáticas.

Arnaldo Vasconellos

(*) – Todas as imagens, exceto a que está com fonte identificada, pertencem a este blog e estão disponibilizadas na licença Creative Commons que rege este site.

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Matrizes matemáticas – Parte 1

O que são matrizes matemáticas?

Quando paramos para pensar na palavra “matriz” o que nos vem em mente? Provavelmente para alguns a palavra associa-se a um filme de grande sucesso, Matrix, para outros se refere à uma sede principal de uma empresa, ou ainda, para outras pessoas, um componente que funciona como um carimbo.

Por exemplo, na época dos discos de vinil, temos um procedimento de produção de LPs da seguinte forma: uma matriz, com as músicas já mixadas era criada para imprimir sulcos em diversas quantidades de centenas, ou talvez milhares, de cópias de LPs; assim como num carimbo.

Um LP

Um LP

A própria idéia de carimbo ou de imprensa de tipos móveis (que já foi a tempo uma tecnologia de impressão de jornais); ou a ainda a noção de fotolito, uma tecnologia vigente para a produção de milhares de livros, com apenas os fotolitos que resultarão as páginas de tais livros, representam um dos significados da palavra matriz.

Pois bem, uma matriz matemática é um aglomerado de informações dispostas num modelo em linhas x colunas. É em última instância uma tabela.

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P J V E D GP GC SG %
1 Corinthians 44 22 13 5 4 40 22 18 66,7
2 Fluminense 42 23 12 6 5 40 24 16 60,9
3 Cruzeiro 41 23 11 8 4 31 22 9 59,4
4 Internacional 38 22 11 5 6 28 21 7 57,6
5 Botafogo 38 23 10 8 5 36 26 10 55,1
6 Santos 35 22 10 5 7 34 27 7 53
7 Atlético-PR 34 23 10 4 9 28 32 -4 49,3
8 São Paulo 31 23 8 7 8 30 30 0 44,9
9 Ceará 30 23 7 9 7 19 20 -1 43,5
10 Guarani 30 23 7 9 7 26 31 -5 43,5
11 Grêmio 29 23 7 8 8 30 28 2 42
12 Vasco 29 22 6 11 5 21 21 0 43,9
13 Palmeiras 29 23 6 11 6 24 26 -2 42
14 Vitória 28 23 6 10 7 28 31 -3 40,6
15 Flamengo 27 23 6 9 8 21 23 -2 39,1
16 Avaí 25 23 6 7 10 31 36 -5 36,2
17 Atlético-MG 21 23 6 3 14 28 40 -12 30,4
18 Goiás 21 23 5 6 12 24 40 -16 30,4
19 Atlético-GO 20 23 5 5 13 27 35 -8 29
20 Prudente 17 23 4 8 11 21 32 -11 29

Tabela do campeonato brasileiro. Pode ser transformada numa grande matriz. Fonte: extraído do G1, http://globoesporte.globo.com/futebol/brasileirao-serie-a/ em 21/09/10.

A Matriz matemática, como uma tabela, também pode participar do conceito de matriz, como algo que gera; Matrice, Mater; uma matriz matemática é um conjunto de elementos ordenados em linhas x colunas: assim temos uma espécie de conjunto, cujos elementos são emoldurados por uma estrutura que é baseada na disposição dos índices linha e coluna (i x j). São como se fosse, portanto, “fôrmas” matemáticas.

Esquema de uma matriz. Fonte: Wikipédia

Esquema de uma matriz. Fonte da imagem: Wikipédia

Uma matriz é identificada por uma letra em maiúscula e pode ser abreviada da seguinte forma:

Matriz reduzida

Cada elemento é identificado pelos índices de linha x coluna em que aparecem.

Outro esquema de uma matriz, mostrando a identificação de elementos de acordo com seus índices m x n.

Outro esquema de uma matriz, mostrando a identificação de elementos de acordo com seus índices m x n. Fonte da imagem: Wikipédia.

A diagonal primária e a diagonal secundária

Numa matriz possuímos diagonais, além das linhas e colunas.  São retas que passam a matriz diagonalmente. Abaixo temos esquemas de uma diagonal primária e uma secundária:

Diagonal primária

Diagonal primária

Diagonal secundária

Diagonal secundária

Existem tipos diferentes de matrizes?

Sim, possuem tipos diferentes de matrizes. Nesta artigo listaremos alguns tipos e subtipos de matrizes.

Matriz linha

Chamamos de matriz linha aquela que possui apenas uma linha.

Matriz Linha

Matriz Linha

Matriz coluna

A matriz coluna tem apenas uma coluna.

Matriz Coluna

Matriz Coluna

Matriz quadrada

Uma matriz quadrada possui o mesmo número de linhas e colunas.  Denomina-se ordem a quantidade de linhas ou coluna que ela possui.

Matriz Quadrada

Matriz Quadrada

Matriz diagonal

Subtipo de matriz quadrada: quando uma matriz quadrada possui apenas elementos não nulos (diferentes de zero) apenas em sua diagonal principal. Os outros elementos devem ser nulos.

Matriz Diagonal

Matriz Diagonal

Matriz identidade

Uma matriz diagonal que possui seus elementos na diagonal principal, todos, iguais a 1.

Matriz Identidade

Matriz Identidade

Matrizes iguais

Quando matrizes com mesmo número de linhas e colunas são colocadas diante uma igualdade. Significa que são de valores correspondentes.

Matrizes Iguais

Matrizes Iguais

Matriz transposta

Quando invertemos as linhas pelas colunas (e vice-versa) criamos uma matriz transposta. Abaixo um esquema representando as matrizes (a matriz transposta tem um “t” superior em seu nome).

Matrizes Transpostas

Matrizes Transpostas

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Cálculo de elementos na matriz

Vamos supor que temos um número “k”, se quisermos podemos multiplicá-lo pela matriz “A”. Assim teríamos “k.A”. Neste caso temos que multiplicá-lo com cada elemento da matriz.

Assim:

Multiplicando valor k por matriz A

Multiplicando valor k por matriz A

Também podemos fazer outras operações, como por exemplo calcular um elemento de acordo com a linha que pertence. Sabemos que a identificação de cada elemento é “Aij”, sendo “A” o elemento, “i” a sua linha e “j” a coluna. Agora vamos considerar que para calcular um determinado elemento tenhamos o seguinte comando “i+j * 2 + 5”.  Assim poderemos saber que elemento é este identificando a linha e a coluna em que ela está.

Assim:

Calculando elementos da matriz

Calculando elementos da matriz

No exemplo acima sabemos que “i+j * 2 + 5” está na primeira linha e terceira coluna. Assim o cálculo deste elemento fica em “1+3  * 2 +5”, que fica “1+6+5” que resulta em “12”. Já o elemento com j ao quadrado, como está na primeira coluna fica como “1 ao quadrado”, que dará “1”.

Arnaldo Vasconcellos

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